در این معادله واریانس شرطی  وابسته به مقادیر تحقق یافته  می­باشد و اگر مقدار تحقق یافته  بزرگ باشد، واریانس شرطی  در زمان t نیز بزرگ خواهد بود. معادله  یک الگوی اتورگرسیو درجه اول است که آن را با ARCH(1) نشان می­دهیم. در این مدل ضرایب مقید هستند، زیرا برای اطمینان از منفی نبودن واریانس شرطی،‌ لازم است تا ضرایب مثبت باشند. اگر  منفی باشد، به ازای مقادیر نسبتا کوچک  واریانس  منفی خواهد بود. همچنین اگر  منفی باشد، به ازای مقادیر نسبتا بزرگ  واریانس شرطی منفی خواهد شد. برای ثبات مدل نیز لازم است تا قید _۱ <1α۰< را اعمال کنیم. در یک مدل ARCH، ساختار جز خطا به نحوی است که میانگین مشروط و غیر مشروط آن برابر صفر است. همچنین دنباله{  } فاقد خود همبستگی است. زیرا برای تمامی مقادیر  می­باشد. اما گشتاورهای مرتبه دوم جملات خطا با هم ارتباط دارند. واریانس شرطی یک فرایند اتورگرسیو است که موجب می­ شود جز خطا دارای الگوی واریانس ناهمسانی شرطی باشد. واریانس ناهمسانی شرطی در{  } موجب می­ شود که دنباله  نیز دارای الگوی واریانس ناهمسانی باشد. بدین ترتیب یک مدل ARCH می ­تواند دوره­ های سکون و نوسان را در سری  توضیح دهد(اندرس، ۱۳۸۶).
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۳-۶- مدل GARCH ^[۲۷]
بولرسلو^[۲۸] (۱۹۸۶) الگوی اولیه ارائه شده توسط انگل را بسط داد و روشی را ابداع کرد که براساس آن واریانس شرطی می‌تواند یک فرایند ARMA باشد. در این روش فرض بر این است که فرایند خطا، دارای الگوی زیر باشد:
(۳-۱۲)
بطوریکه  باشد و  را به صورت زیر تعریف کنیم :

فرایند  یک فرایند نوفه سفید است. واریانس شرطی  برابر است با :
(۳-۱۳)
یعنی واریانس شرطی یک فرایند ARMA است که از الگوی  تبعیت می کند.
یکی از مزایای آشکار مدل GARCH این است که در برخی موارد می­توان به جای تخمین یک معادله ARCH مرتبه بالا، یک مدل GARCH را جایگزین کنیم که در آن اصل صرفه­جویی، بیشتر رعایت شده و تشخیص و تخمین آن ساده­تر است. در معادله  لازم است که تمام ضرایب مثبت بوده و واریانس مقداری متناهی باشد. واضح است که هر چه در مدل اصل صرفه­جویی بیشتر رعایت شده باشد، تعداد محدودیت­های ضرایب نیز کمتر خواهد بود.
۳-۷- الگوی خودرگرسیونی با وقفه توزیعیARDL^[29]
طبق نظریه هم‌جمعی در اقتصادسنجی مدرن، ضروری است که از روش‌‌هایی در برآورد توابع هنگام استفاده از سری‌‌های زمانی، استفاده شود که به مسأله ساکن پذیری و هم‌جمعی توجه داشته باشند. اخیرا پسران و شین(۱۹۹۶) و پسران و همکاران(۲۰۰۱) نسخه­ای جدید و جایگزین از تکنیک­های هم‌جمعی معرفی نموده ­اند که به آزمون"خود همبستگی با وقفه توزیع شده"(ARDL) معروف است. علت به وجود آمدن این روش جدید، این است که روشهایی همچون هم‌جمعی انگل-گرنجر و جوهانسن دارای محدودیت‌های زیادی می­باشند که باعث می‌شود الگوی ARDL نسبت به این روشها دارای مزایایی باشد که در زیر به آنها می‌پردازیم:
الگوی ARDL در تحلیل‌های هم‌جمعی سری‌های زمانی نسبت به الگوهای معمول ارائه شده توسط انگل و گرنجر^[۳۰] (۱۹۸۷) دارای مزایائی است. به عنوان مثال در الگوی ARDL به یکسان بودن درجه همجمعی متغیرهای مورد استفاده در الگو که در روش انگل-گرنجر ضروری بود، نیازی نیست. این روش برخلاف روش انگل-گرنجر توانایی تشخیص متغیرهای وابسته را دارد. مدل ARDL اجزاء بلندمدت و کوتاه‌مدت در مدل را به طور همزمان با تعیین تعداد وقفه‌های بهینه‌ برای متغیرها، تخمین می‌زند و مشکلات مربوط به حذف متغیرها و خودهمبستگی را رفع می‌کند. بنابراین تخمینهای حاصل از روش ARDL و تحلیل همجمعی به دلیل اجتناب از مشکلات ناشی از خودهمبستگی و درونزایی، نااریب و کارا هستند(کرمی و زیبایی،۱۳۸۷).
علاوه بر این به اعتقاد پهلوانی و همکاران^[۳۱](۲۰۰۵) الگوی ARDL نسبت به روش هم‌جمعی جوهانسن^[۳۲] که در اغلب مطالعات مورد استفاده قرار می‌گیرد، دارای مزیت‌هائی است که ازجمله آن‌ ها می‌توان به موارد ذیل اشاره نمود :
برای نمونه‌های کوچک کارائی و کاربرد دارد.
لازم نیست همه متغیرهای توضیحی همگرا از یک درجه باشند.
بهمنی اسکوئی و نصیر ^[۳۳](۲۰۰۴) معتقدند که در تکنیک‌های معمول هم‌جمعی در مرحله اول لازم است درجه همگرائی متغیرها با آزمون‌های معمول تعیین گردد. مشکل تکنیک‌های هم‌جمعی جوهانسن این است که احتیاج به انتخاب‌های زیادی دارد، از قبیل انتخاب تعداد متغیرهای درون‌زا و برون‌زا، درجه VAR و نیز تعداد بهینه وقفه‌ها. بعلاوه نتیجه تحلیل و الگوسازی به این انتخاب‌ها بسیار حساس است. اما در الگوی ARDL علاوه بر مزیت‌های بیان شده می‌توان برای متغیرهای مختلف تعداد وقفه‌های بهینه متفاوتی را در نظر گرفت.
بر اساس مطالعه پسران و همکاران (۲۰۰۱)، با بهره گرفتن از روش ARDL و با منظور نمودن وقفه‌های مناسب، می‌توان ضرایب بلندمدت سازگاری میان متغیرهای مورد نظر در یک مدل به دست آورد. در روش ARDL برای هر یک از متغیرها با بهره گرفتن از معیارهایی مانند شوارتز- بیزین، آکائیک و حنان کوئین، وقفه های بهینه انتخاب می شود(پهلوانی و دهمرده، ۱۳۸۶).
این الگو از این مزیت نیز برخوردار است که علاوه بر برآورد ضرایب مربوط به الگوی بلندمدت، الگوی تصحیح خطا را نیز به منظور بررسی چگونگی تعدیل بی‌تعادلی کوتاه‌مدت به تعادل بلندمدت، ارائه می‌دهد. بنابراین استفاده از الگوهایی که پویایی‌های کوتاه‌مدت را در خود داشته باشند و منجر به برآورد ضرایب دقیق‌تری از الگو شوند، مورد توجه قرار می گیرند. به طور کلی الگوی پویا^[۳۴]، الگویی است که در آن وقفه‌های متغیرها، همانند رابطه (۳ -۱۴) وارد شوند.
(۳ -۱۴)
برای کاهش تورش مربوط به برآورد ضرایب الگو در نمونه‌های کوچک، بهتر است تا حد امکان از الگویی استفاده کنیم که تعداد وقفه‌های زیادی برای متغیرها، همانند رابطه(۳-۱۵) در نظر بگیرد(تشکینی،۱۳۸۴).
( ۳ –۱۵)
در روابط بالا Y_t متغیر وابسته و X_it متغیرهای مستقل هستند. جمله"L” عملگرد وقفه و wt برداری S×۱ است که نمایانگر متغیرهای از پیش تعیین شده در مدل شامل عرض از مبدأ، متغیرهای دامی، روند زمانی و سایر متغیرهای برونزا است.P تعداد وقفه‌های به کاررفته برای متغیر وابسته و q تعداد وقفه‌های مورد استفاده برای متغیرهای مستقل (X_it) است. این روابط توسط پسران و پسران در سال ۱۹۹۷ ارائه شده است.
الگوی فوق یک الگوی خود همبسته با وقفه‌های توزیع شده (ARDL) نام دارد که در آن داریم:
(۳ –۱۶)  i=1,2,…,k (3-17)
تعداد وقفه‌های بهینه برای هریک از متغیرهای توضیحی را می‌توان با کمک یکی از ضوابط آکائیک^[۳۵]، شوارتز- بیزین^[۳۶]، حنان- کوئین^[۳۷] و یا ضریب تعیین تعدیل شده^[۳۸] تعیین کرد. برای محاسبه ضرایب بلندمدت مدل، از همان مدل پویا استفاده می‌شود. ضرایب بلندمدت مربوط به متغیرهای X از این رابطه به دست می آیند:
b
b
b
p
L
q
L
b
p
iq
i
i
i
i
i
ˆ
…
ˆ
ˆ
۱
ˆ
…
ˆ
ˆ
)