اثبات
می­سازیم(۲-۹-۳) نابرابری زیر را با بهره گرفتن از قضیه
اگر فرض کنیم که ، فرمول (۸۷-۳) به سادگی اثبات می­ شود.
: نکته ۷-۹-۳
نکاتی در مورد تعیین مقدار ^[۱۲]در روش آنالیز هوموتوپی
از آن­جا که همگرایی سری جواب در روش آنالیز هوموتوپی کاملاً به انتخاب مناسب پارامتر کمکی وابسته است، لذا تعیین مقدار مناسب، یکی از مهم­ترین نکات در مورد استفاده از این روش محسوب می­ شود. در استفاده از – منحنی، باید محدوده رسم نمودار را مناسب و نسبتاً کوچک در نظر گرفت. زیرا انتخاب نامناسب بازه ممکن است موجب بروز اطلاعات نادرست در منحنی شود.
اکنون معادله شرودینگر را با روش آنالیز هوموتوپی حل و همگرایی آن­ها را بررسی می­کنیم.
:۸-۹-۳مثال
معادله شرودینگر یک معادله دیفرانسیل جزئی است که کاربردهای بسیاری در اپتیک، شیمی و فیزیک دارد. صورت خطی معادله شرودینگر به شکل زیر است
و شکل غیر خطی آن به صورت
می­باشد، که در آن یک عدد حقیقی ،، و یک تابع مختلط ناشناخته است.
حالت خطی معادله شرودینگر
معادله داده شده را با روش آنالیز هوموتوپی با انتخاب عملگر خطی زیر حل می­کنیم.
با فرض این که عملگر خطی دارای این خاصیت باشد که
به­ طوری که ثابت انتگرال­گیری می­باشد. وارون عملگر خطی را به این صورت تعریف می­کنیم
حال عملگر غیر خطی را به صورت زیر در نظر می­گیریم
با بهره گرفتن از تعریف بالا، معادله تغییر شکل مرتبه صفر ام را می­سازیم
برای و ، داریم
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

بنابراین معادله تغییر شکل یافته مرتبه ام به صورت زیر است
با شرایط اولیه .
از طرفی داریم
جواب­های معادله تغییر شکل یافته مرتبه ام به صورت زیر هستند
با تقریب اولیه شروع می­کنیم.
با بهره گرفتن از فرمول تکراری بالا، همان­طور­ی که در بالا گفته شد، فرض کنیم ، می­توانیم سایر مولفه هارا به طور مستقیم به­دست آوریم. به عنوان مثال
سری جواب به­ صورت زیر است
و صورت بسته جواب به شکل زیر
اکنون همگرایی حالت خطی معادله را بررسی می­کنیم.
بنا بر قضیه همگرایی که گفته شد سری در صورتی همگراست که جوابی از معادله باشد. با فرض این­که ، همگرا باشد و
داریم
با توجه به رابطه داریم
بنابراین
از آن­جا که
و با توجه به این­که ، داریم
بنابراین
از طرفی
حا لت غیر خطی و بررسی همگرایی معادله شرودینگر با روش آنالیز هوموتوپی
عملگر خطی را به­ صورت زیر انتخاب می­کنیم
فرض می­کنیم
که در آن ثابت انتگرال گیری می­باشد. وارون این عملگر خطی به صورت زیر تعریف می­ شود
حال عملگر غیر خطی را به این صورت تعریف می­کنیم
جواب­های معادله تغییر شکل یافته مرتبه ام به صورت زیر هستند
به عبارت دیگر داریم
که در آن توسط مقدار اولیه تعیین می­ شود. بر اساس رابطه ، می­توان نوشت
با تقریب اولیه شروع می­کنیم.
با بهره گرفتن از فرمول تکراری بالا، اگر ، می­توانیم سایر مولفه­ها را به­ طور مستقیم به­دست آوریم. چند جمله اول سری جواب، به­ صورت زیر به­دست می ­آید