۱۰۳٫۷

لذا مشاهده گردید که با اصل بر هم نهی نمی­ توان جمله­های سختی چرخشی بلبرینگ دو ردیفه را از روی دو بلبرینگ تک ردیفه تقریب زد. از اینرو، به فرمول تحلیلی مجزایی برای بلبرینگ دو ردیفه نیاز است لیکن برای مسائل ساده می­توان از حل معادلات استاتیکی بلبرینگ تک ردیفه به تقریب معادلات بلبرینگ دو ردیفه پرداخت]۱۲[.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۳-۲-۱- معادلات و فرضیات حاکم بر مسئله
دو فرق اساسی بین المانهای چرخشی بلبرینگ ساچمه­ای و غلتکی وجود دارد. اول اینکه نوع برقراری تماس بین المانهای بلبرینگ ساچمه­ای هنگامی که بار به آن اعمال نمی­ شود از نوع تماس نقطه­ای بوده و هنگامی که با اعمال شود به طور بیضوی می­باشد. لیکن این نوع تماس برای المانهای غلتکی به صورت تماس خطی می­باشد. لذا بنا به این تفاوت، ارتباط بار-خیزش برای این بلبرینگها با توانهای متفاوتی بیان می­ شود]۱۰[. دومین تفاوت اساسی این است که زاویه­ی تماس بلبرینگ ساچمه­ای تحت بار تغییر می­ کند ولی برای بلبرینگ غلتکی ثابت می­ماند. لذا اولین فرض این است که تغییرات زاویه­ی تماس  تحت بارگذاری باید در نظر گرفته شود. پس در این مسئله فرضیات ساده سازی که برای دیگر مسائل در نظر گرفته می­ شود را نمی­ توان دخیل کرد چراکه این بلبرینگها از نوع تماس زاویه­ای هستند.
حال یک بلبرینگ ساچمه­ای تماس زاویه­ای را در نظر بگیرید که بردار نیروی  و بردار جا به ­جایی  را دارد (لازم به ذکر است از آنجا که فقط بر روی بلبرینگ دو ردیفه صحبت می­کنیم دیگر از نوشتن بالانویس  صرف نظر می­کنیم). فرض شده است که شفت می ­تواند آزادانه حول محور z بچرخد و کلیه­ جمله­های مرتبط با آن مثل چرخش و گشتاور صفر هستند.
از طرفی، هردو حلقه­ی داخلی و بیرونی بلبرینگ قادر به چرخیدن بوده و ممکن است تحت بار تغییر شکل بدهد. اما بهتر است که برای بررسی این موضوع جا به ­جایی نسبی بین حلقه­ها را در نظر بگیریم لذا فرض می­کنیم که حلقه­ی بیرونی در فضا ثابت نگه داشته شده است و حلقه­ی داخلی تحت بار اجازه­ی جا­به­جایی را دارد این فرض در کارهای دیگر نیز ذکر شده است]۱۳[. بردار نیروی  به عنوان بار مترکز بر حلقه­ی داخلی اعمال می­ شود و در راستای مرکز هندسی بلبرینگ در نظر گرفته شده است. بردار جا­به­جایی میانگین  متناسب با جا به ­جایی مرکز بلبرینگ است. البته بردار جا به ­جایی کل شامل بردار جا به ­جایی تناوبی نیز می­باشد اما فرض شده است که این مقدار بسیار کوچکتر از  می­باشد. فرض بر این است که هر دو ردیف بلبرینگ از نظر پارامترهای سینماتیکی مستقل هستند. از طرفی شفت را صلب در نظر می­گیریم تا از اثرات تغییر شکل آن نیز صرف نظر کنیم پس فقط تغییر شکل الاستیک المانهای چرخشی را در نقطه­ی تماس در نظر می­گیریم]۱۰[ و همچنین هر المان در بلبرینگ با مکان زاویه­ای خودش تعریف می­ شود و این تناسب بین المانها به دلیل صلب فرض کردن قطعات ثابت باقی می­ماند. به منظور صرف نظر از اثرات چرخشی بسیار بالا و ایجاد ممان ژیروسکوپی فرض می­کنیم که بلبرینگ در سرعتهای بسیار بالا نمی­چرخد و روانکاری بلبرینگ و قطعات سیستم مستقیماً بر سختی بلبرینگ اثر نمی­گذارد.
به منظور بررسی سختی بلبرینگ در ابتدا باید ارتباط بین  و  استخراج گردد. لذا jامین المان چرخشی از iامین ردیف بلبرینگ تماس زاویه­ای که در شکل زیر نشان داده شده است را تصور کنید. فرض بر این است که حلقه­ی خارجی ثابت و تغییر شکل الاستیک  این المان از رابطه­ زیر بدست می ­آید.
شکل ۳-۳ تغییر شکل الاستیک المان چرخشی بلبرینگ دو ردیفه که متناسب با جا به ­جایی نسبی حلقه­ی بیرونی و داخلی تعیین شده[۱۰]
شکل۳-۴ نمایش فاصله­­ی زاویه­ای المان چرخشی از محور x[10]
(۳-۴) 
که  همانطور که در شکل بالا نشان داده شده است، فاصله زاویه­ای المان چرخشی از محور x است و  و  فاصله­ی نسبی بین مرکز حلقه­های داخلی و خارجی در حالت­های با بار و بدون بار است. اگر  بزگتر از  باشد، یعنی المان بدون بار است و تغییر شکل الاستیک صفر است. برای محاسبه­ی  ، جا به ­جایی شعاعی و محوری،  و  ، ابتدا با مؤلفه­ های بردار جا­به­جایی  بیان می­شوند[۱۲].

(۳-۴) 
که R شعاع مرکز انحنای شیار حلقه­ی داخلی،  زاویه­ی تماس بدون بار،  لقی زاویه­ای و  فاصله­ی محوری بین مرکز هندسی بلبرینگ و ردیفهای بلبرینگ می­باشد. بار مؤثر مرکزی E که سختی شیب جمله­های چیدمان دو ردیفه را کنترل می­ کند از رابطه­  و ضرایب  و  به صورت زیر داده شده ­اند:
(۳-۵) 
(۳-۶)
سپس جا به ­جایی­های شعاعی  و محوری  با در نظر گرفتن جا به ­جایی اولیه ناشی از زاویه تماس بدون بار  به صورت زیر تعریف می­شوند.

(۳-۷) 
که  جا به ­جایی پیش­بار محوری بر iامین ردیف را مشخص می­ کند.  تنها در صورتی که لقی شعاعی صفر شود می ­تواند مقادیر مثبتی به خود بگیرد. در اینجا ثابت  را تعریف می­کنیم که وابسته به نوع المان چرخشی بلبرینگ می­باشد.
چیدمان پشت به پشت
(۳-۸) چیدمان رو به رو
چیدمان پشت سر هم
لذا  از طریق رابطه­ زیر بدست می ­آید.
(۳-۹)
پس تغییر شکل الاستیک  المان چرخشی از معادله­ ۳-۳ قابل محاسبه می­باشد و در تئوری تنش تماس هرتز^[۴۶] به منظور بدست آوردن بار نرمال برآیند^[۴۷]  استفاده می­ شود.
(۳-۱۰)
که  المان چرخشی بار-خیزش ثابت سختی است که تابعی از خواص ماده و هندسه می­باشد]۱۰[. توان  بنا به نوع بلبرینگ که بلبرینگ ساچمه­ای است برابر ۱٫۵ است. زاویه­ی تماس با بار  از طریق توابع هندسی از فرمول زیر بدست می ­آید.
(۳-۱۱)
که  و  از رابطه­ ۳-۴ بدست می­آیند.
۳-۲-۲- ماتریس سختی
ماتریس سختی بلبرینگ شامل سینماتیک و خواص الاستیک بلبرینگ و اثرات المانهای چرخشی است]۱۲[. به منظور تعریف ریاضی ماتریس سختی ابتدا باید بار  را با جمع جملات  برای هر المان چرخشی تحت بار  بیان کنیم:
(۳-۱۲)
که رابطه­ فوق رابطه­ ضمنی زیر را می­دهد.

(۳-۱۳)
که با اعمال رابطه­ ۳-۴ در رابطه­ فوق ماتریس سختی را می­توان به این شکل بیان کرد:
(۳-۱۴)
که در این رابطه  و  می­باشند. هر کدام از جمله­های ماتریس سختی به صورت زیر بیان می­شوند: