در نتیجه  که در گزاره  صدق می‌کند را به دست می‌آوریم .
فاز دو (تقریب جواب بهینهP) : با جفت  از دنباله  طبق روش مسیر تعقیب قسمت ۴-۲-۲ شروع می‌کنیم ، یعنی  به  به صورت زیر به روز رسانی می‌کنیم :

• • قرار می دهیم :

• • نقطه با بهره گرفتن از روش میراشده نیوتن (  ) ، می‌رسیم:

(۴-۳۱)
با  شروع می‌کنیم . روش متوقف می‌شود وقتی که جفت  در گزاره  صدق کند ؛ در این صورت قرار می‌دهیم :

در نهایت به روزرسانی جفتی که در گزاره  صدق می‌کند را به دست می‌آوریم و به گام بعدی فاز دو می‌رویم . خواص روش فوق در زیر به عنوان یک قضیه بیان می‌شود .
قضیه ۴-۲-۲ : فرض کنیم مسئلهP توسط روش دو فازی مسیر تعقیب با مانع ϑ-خود هماهنگ دامنه G قابل حل است . آن گاه :
الف) فاز یک متناهی است و حداکثر تکرارها به صورت زیر است :
(۴-۳۲)
با ثابت مطلق  که به معیار مجاز مسیر κ و نرخ جریمه γ روش ، وابسته است .
ب)برای هر  ، تعداد تکرارهای فاز دو قبل از اینکه یک جواب برایP تولید کند ، از کمیت زیر تجاوز نمی‌کند :
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۴-۳۳)
که

به طور کلی ، پیچیدگی کلی نیوتن (مجموع تعداد گام‌های نیوتن در هر دو فاز) از کمیت زیر تجاوز نمی‌کند :

که

۴-۲-۵ نتیجه گیری :
دیدیم که روش اولیه مسیر تعقیب برای حل مسئله P مرتبط با مانع ϑ- خود هماهنگ دامنه شدنیG یک جواب در کمتر از گام نیوتن می‌یابد:

که  تنها به معیار مجاز مسیر κ و نرخ جریمه γ وابسته است و نقطه شروع  است. وقتی κ وγ ثابت باشد آن گاه  نیز ثابت است ؛ مانعF “محاسبه پذیر” است یعنی می‌توانیم  به ازای x داده شده ، را محاسبه کنیم که تعداد عملیات محاسباتی آن برابر M است آن گاه هزینه یافتن ε- جواب روش از کمیت زیر تجاوز نمی‌کند :

(عبارت  هزینه حل سیستم نیوتن در یک گام است) .
به عنوان مثال برنامه ریزی خطی زیر را در نظر بگیرد :

فرض کنیم نامعادلات خطی  در شرایط اسلاتر صدق کنند و یک چند وجهی کراندار درG را تعریف می کنند . با توجه به نتیجه ۳-۱-۱ مانع لگاریتمی استاندارد زیر را در نظر بگیرید .

که یک مانع m-خود هماهنگ روی G است و محاسبه پذیر است :

هزینه محاسبات  برابر  است . بنابراین روش مسیر تعقیب مرتبط با مانع لگاریتمی استاندارد ، یک ε- جواب برای مسئله می‌یابد که هزینه‌اش برابر است با :

هزینه یک گام نیوتن  است(  هزینه حل دستگاه نیوتن است و چون G کراندار است داریم ) بنابراین هزینه کلی یافتن جواب مسئله به صورت زیر است.

که هزینه آخری را می‌توان به  کاهش داد، با اجرای صحیح روش ، یعنی دستگاه‌های نیوتن در همسایگی گام‌های روش، نزدیک به یکدیگرند که باعث می‌شود هزینه حل دستگاه‌های نیوتن کاهش یابد.
آنچه باید تاکید کرد این است که روش مشخص شده از نظر پیچیدگی خوب است هر چند که در عمل مناسب نیست. اشکال اصلی روش “کوتاهی گام”^[۳۴] است. مرزهای پیچیدگی تئوری، مجبور می‌کند پارامتر جریمه در نرخ  افزایش یابد ، بنابراین تعداد گام‌های مناسب نیوتن است. برای یک مسئله LP که خیلی بزرگ نیست با  ؛ روش نیازمند حل صدها دستگاه خطی با ۱۰۰۰ متغیر است که ساعت‌ها به طول می‌ انجامد و غیرقابل مقایسه با زمان مورد نیاز روش سیمپکس است و اگر اندازه‌ها افزایش یابد حل آن روزها به طول می‌ انجامد . نتایج عملی نامناسب ، ناشی از موانع طرح نمی‌باشد ؛ بلکه از پیاده سازی نامناسب طرح ایجاد می‌شود.
پیاده سازی عملی و خوبی از طرح وجود دارد که با بهره گرفتن از استراتژی‌های مختلف ‌نرخ جریمه را کنترل می‌کند و در نتیجه ۲۰ الی ۴۰ تعداد کل گام‌های نیوتن است که اساسا از اندازه مسئله مستقل است در واقع روش مسیر تعقیب با بهره گرفتن از مانع‌های خود هماهنگ مناسب ، بهترین پیچیدگی زمانی را برای مسائل محدب مانند برنامه ریزی خطی ، مخروط مرتبه دوم ، ‌نیمه معین و هندسی، ایجاد می‌کند . اما از نظر عملی همواره بدترین حالت پیچیدگی تئوری را دارد . پیاده سازی روش‌های نقطه درونی قوی‌تری در عمل وجود دارند که الگوریتم های شناخته شده اولیه –دوگان هستند که با بهره گرفتن از به روز رسانی هایی که در طول روش وجود دارند ، به طور همزمان روی مسئله اولیه و دو گانش کار می کنند و تقریبا همه آن‌ ها ، شامل همه اجزاهای که تاکنون در نرم افزارهای حرفه‌ای با مسائل مخروطی کار کرده‌اند ، می‌باشند .
۴-۳ مسائل مخروطی و دوگان آن
در قسمت قبل روش نقطه درونی مسیر تعقیب بیان شد این روش که از نظر تئوری خوب بود ، از نظر عملی چندان مناسب نیست زیرا یک روال عادی برای به روزرسانی پارامتر جریمه است (که معمولا نزدیک به یک است) در نتیجه تعداد واقعی مراحل نیوتن در حالت معمول در بدترین حالت تئوری است که معمولا متناسب با است . ϑ پارامتر مانع خود هماهنگ است ، که برای مسائل بزرگ ، معمولا بزرگ است و تعداد گام‌های نیوتن برای کاربردهای عملی بیش از حد بزرگ می شود . اشکال مفهومی طرح در این است که همه چیز اکید تنظیم شده است و هیچ جایی برای بهره‌برداری از شرایط مطلوب وجود ندارد .
روش دیگری از روش‌های نقطه درونی وجود دارد که به اصطلاح کاهش پتانسیل^[۳۵] نامیده می‌شود که عاری از این اشکال اکیدا مقرراتی است . برخی از این روش‌ها ، به عنوان مثال روش نقطه درونی کارمارکار^[۳۶] برای برنامه‌ریزی خطی است که در عمل بسیار مفید است . روش‌های کاهش پتانسیل که درباره آن‌ ها بررسی می‌کنیم ، با توسعه یک بخش جدید از ابزار به نوبه ی خود جالب هستند . این توسعه هدف ماست .
۴-۳-۱ مسائل مخروطی
در بخش قبل جهت استفاده از روش مسیر تعقیب، باید مسئله را به شکل خاصی از مینیمم سازی یک تابع هدف خطی روی دامنه محدب دربیاوریم ، که این شکل را استاندارد می‌نامند . به طور مشابه برای استفاده از روش کاهش پتانسیل نیاز داریم مسئله را به شکل خاصی درآوریم که مخروط نامیده می‌شود .
مسئله مخروطی^[۳۷] : فرض کنیم  یک مخروط محدب ، بسته و گوشه دار با درون ناتهی باشد . مسئله بهینه سازی زیر را در نظر بگیرید :

که :

• • L یک زیر فضای خطی  است

• • b برداری در  است.