در این رگرسیون دستگاه عمومی پارامترهای تمام واحدها در تمام زمان‌ها بیان شده است. یکی از معمولی‌ترین اشکال سازمان‌دهی داده‌ها در رابطه زیر براساس واحدهای تصمیم‌گیری است. بنابراین داریم:
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
همچنین داده‌ها می‌توانند به شکل انباشته به صورت زیر بیان شوند:
به طوری که Y دارای رتبه ۱×n، X دارای رتبه k×n و e دارای رتبه ۱×n میباشد. همچنین ممکن است رابطه فوق به صورت زیر بیان گردد:
به طوری که i یک بردار ۱×n از واحدها، اسکالر و
می‌باشند. اختلاف بین مقاطع (بنگاه‌ها، کشورها، مسیرها، استان‌ها و …) در
نشان داده میشود و در طول زمان ثابت فرض می‌گردد. اگر فرض ما این باشد که
برای تمام بنگاه‌ها ثابت است، روش OLS تخمین‌های کارا و سازگاری از
به دست خواهد داد. ولی اگر فرض کنیم که در بین مقاطع مختلف اختلاف وجود دارد، باید از روش‌های دیگری برای تخمین استفاده شود.
اگر مشاهدات مربوط به تک تک مقاطع در دوره‌های یکسان و ثابت قرار داشته باشد (یعنی تعداد مشاهدات هریک از آنها با هم برابر باشند) در این حالت گفته میشود که پانل تعادلی است. ولی اگر مشاهدات مربوط به تک تک مقاطع با هم متفاوت و در دوره‌های مختلفی نیز باشند، هرچند ممکن است تعداد مشاهدات یکسان باشد، اما چون در دوره‌های متفاوت هستند به این حالت پانل غیرتعادلی می‌گویند.
۳-۳- تخمین‌زننده‌های GMM
جهت آشنایی با تخمین زننده‌های روش تعمیم یافته گشتاورها (GMM) ابتدا تخمین روش گشتاورها را بیان کرده، سپس آن را تعمیم داده و پروسه تخمین GMM را استخراج میکنیم.
۳-۳-۱- روش گشتاورها
روش گشتاورها یک تکنیک تخمین است که بیان می‌دارد پارامترهای مجهول باید به وسیله انطباق گشتاورهای جامعه (که توابعی از پارامترهای مجهول هستند) با گشتاورهای نمونه‌ای مناسب تخمین زده شوند. در ابتدا لازم است شرایط گشتاوری به نحو مطلوبی تعریف شود (گرین[۶۵]، ۲۰۰۳).
۳-۳-۲- شرایط گشتاوری
با این فرض که نمونه‌ای از مشاهدات شامل داشته باشیم، در حالی که میخواهیم یک پارامتر مجهول
بردار
با اندازه حقیقی
را تخمین بزنیم. فرض کنیم
یک بردار
پیوسته و تابعی از
باشد و
وجود داشته باشد و برای همه
تعریف شده باشد. براین اساس شرایط گشتاوری به این صورت است:
به عنوان مثال هر گاه نمونه از یک توزیع گاما
با اندازه‌های حقیقی
داشته باشیم، روابط میان گشتاورهای این توزیع و پارامترهای آن عبارتند از:
براساس تعاریف قسمت قبل خواهیم داشت:
شرایط گشتاوری عبارتند از:
۳-۳-۳- روش تخمین گشتاورها
در حال حاضر بررسی خواهیم نمود که چگونه یک پارامتر بردار با بهره گرفتن از شرایط گشتاوری داده شده در قسمت قبل تخمین زده میشود.
در اولین مورد در جایی که کاملاً تعریف شده است به وسیله شرایط گشتاوری p=q قرار داده میشود. سپس شرایط گشتاوری
، یک مجموعه از معادلات p را برای مجهولات pارائه می‌دهد. حل این معادلات با لحاظ نمودن شرایط گشتاوری اندازه
را به دست می‌دهد و این سبب میشود به اندازه حقیقی
برسیم. با این وجود نمی‌توانیم
را مشاهده نماییم و فقط
را داریم. روش معمول برای ادامه پروسه این است که گشتاورهای نمونه‌ای از
را تعریف کنیم:
بدین صورت روش گشتاورها تخمین زننده‌ای از را ارائه می‌کند. اگر گشتاورهای نمونه تخمین‌های مناسبی از گشتاورهای جامعه ارائه دهند انتظار خواهیم داشت تخمین زننده
که از شرایط گشتاوری نمونه
حاصل میشود تخمین خوبی از اندازه حقیقی
که از شرایط گشتاوری جامعه
حاصل میشود بدست دهد (آرلانو و باند، ۱۹۹۱).
۳-۳-۴- تخمین روش تعمیم یافته گشتاورها
تخمین زننده GMM هنگامی که پارامترهای به وسیله شرایط گشتاوری بیش از حد مشخص شده‌اند، مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این مورد دستگاه معادلات
،q معادله را برای p مجهول ارائه می‌دهد که به وسیله
قابل حل است. حال اگر در موارد کاملا مشخص شده پروسه را برای بدست آوردن یک تخمین زننده ادامه دهیم خواهیم داشت:
هنگامی که معادلات q برای مجهولات pوجود دارد، از‌آنجایی که معادلات بیشتری نسبت به مجهولات وجود دارد نمی‌توانیم یک بردار که شرایط
را برقرار نماید شناسایی نماییم.
لیکن می‌توان یک بردار یافت که
را تا حد امکان به صفر نزدیک کند.
این بردار می‌تواند به وسیله تعریف
جایی که:
و یک ماتریس وزن دهنده
معین مثبت و تصادفی میباشد حاصل شود. این نکته لازم به ذکر است که
میباشد و
است، تنها اگر
باشد. بنابراین
می‌تواند در مورد کاملا مشخص شده صفر باشد؛ اما در مورد بیش از حد مشخص مثبت است.
۳-۳-۵- تعریف تخمین زننده GMM
با فرض اینکه یک نمونه مشاهدات شامل داریم و میخواهیم یک پارامتر مجهول
ماتریس
با ارزش حقیقی
را تخمین بزنیم
یک مجموعه از شرایط گشتاوری q میباشد و
به گشتاورهای نمونه اشاره دارد. تابع استاندارد زیر را تعریف میکنیم:
جایی که یک ماتریس معین مثبت
است.
براین اساس تخمین زننده GMM از عبارت است از:
تخمین زننده GMM که با این شرایط بدست می‌آید دارای خواص مجانبی زیر است:
۱- سازگاری ۲- نرمال مجانبی ۳- کارآیی مجانبی
۳-۳-۶- تخمین ماتریس کوواریانس
با توجه به بردار تخمین زده شده ، تخمین زننده ماتریس کوواریانس مجانبی را می‌توان به صورت زیر نوشت:
لازم به ذکر است که ماتریس کوواریانس مجانبی به اندازه نمونه وابسته میباشد.
علت این است که نباید یک فرایند ساکن در نظرگرفته شود و یا اینکه ماتریس وزن دهنده
به یک ماتریس یکنواخت غیر وابسته به T تمایل پیدا کند.
ساکن بودن برای سازگاری و یا نرمال مجانبی بودن تخمین زننده‌های و برای سازگاری بسیاری از تخمین زننده‌های ماتریس کوواریانس ضروری نیست.
یکی از اجزاء اصلی ماتریس کوواریانس مجانبی میباشد. بنابراین ما به یک تخمین زننده سازگار از
نیاز داریم که بتواند شرط
را برآورده سازد.
