بازنگری مفهومی (معادلات کالمن)
پیش ­بینی بر اساس داده ­های قبلی
گرفتن اندازه ­گیری
( پیش ­بینی- اندازه ­گیری)×(گین کالمن)+ پیش ­بینی = تخمین بهینه
( گین کالمن-۱)× واریانس پیش ­بینی = واریانس تخمین
شرایط اولیه ( و )
پیش ­بینی

• • استفاده از شرایط اولیه و مدل (به عنوان مثال، سرعت ثابت) به منظور پیش ­بینی

اندازه ­گیری

• • اندازه گرفتن

اصلاح

• • استفاده از اندازه ­گیری به منظور اصلاح پیش ­بینی

• • تخمین بهینه با واریانس کوچکتر

برای کاربرد فیلتر کالمن فرض می شود که مدل های مشاهداتی و سیر تغییر در معادلات (۱٫a,b) خطی اند. همچنین، فرض می شود که نویزهای چنین مدل هایی گاوسی با میانه و کوواریانس مشخص بوده و افزایشی اند.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

بنابراین، چگالی خلفی ، در t_k، k=1,2,… گاوسی بوده و فیلتر کالمن منجر به راه حل بهینه برای مساله تخمین حالت می شود، یعنی چگالی خلفی به طور دقیق محاسبه شده است. با فرضیات پیش رو، مدل های مشاهداتی سیرتغییر را می توان به ترتیب به شکل زیر نوشت:
(۳٫a)
(۳٫b)
که در آن F و H ماتریس های مشخص به ترتیب برای سیرتغییر خطی وضعیت x ومشاهده z هستند. با این فرض که نویزهای v و n میانه صفر و به ترتیب ماتریس های کوواریانس Q و Rدارند، گام های پیش بینی و به روزرسانی فیلتر کالمن در زیر داده شده است:
پیش بینی:
(۴٫a)
(۴٫b)
به روز رسانی:
(۵٫a)
(۵٫b)
(۵٫c)
ماتریس K را ماتریس وزن کالمن گویند. در بالا توجه کنید که پس از پیش بینی وضعیت متغیر x و ماتریس کوواریانس آنP با معادلات (۴٫a,b)، تخمین های قیاسی برای چنین کمیت هایی در گام به روز رسانی با بهره گرفتن از اندازه گیری های z به دست آمده اند.
مرحله­ تصحیح به صورت مفهمومی بسیار شبیه به مثال به روز رسانی بیزین است.
جزئیات مجموعه ­ای از معادلات فیلترینگ کالمن
پیش ­بینی (به روز رسانی زمان)
حالت پیش­رو
کوواریانس خطای پیش­رو
اصلاح (به روز رسانی اندازه ­گیری)
محاسبه­ی گین کالمن
به روز رسانی تخمین با اندازه ­گیری
به روز رسانی کوواریانس خطا
غیرگاوسی
اگر نویز فرایند یا اندازه ­گیری به طور معمول توزیع نشده باشد،‌سپس برای گام اصلاح
می­توانیم از توزیع با بهره گرفتن از روش­های مونته کارلو زنجیره­ی مارکوف نمونه برداری کنیم. این به عنوان مونت کارلو ترتیبی (SMC) یا فیلترینگ ذره­ای شناخته می­ شود و یک روش بسیار قدرتمند است[۱۹].
برای موارد دیگر که برای آنها فرضیه های مدل های مشاهدات- سیر تغییر گاوسی خطی معتبر نیست، استفاده از فیلتر کالمن منجر به راه حل بهینه نمی شود زیرا چگالی قیاسی، تحلیلی نیست. کاربرد روش های مونت کارلو برای توزیع های غیرخطی و/یا غیر گاوسی عمومی ترین و قدرتمندترین روش است. همین حالت به استثنای در دسترس بودن فیلتر کالمن معروف به بسط یافته است که شامل خطی سازی مساله می شود. فیلتر مونت کارلو در ادامه شرح داده شده است.
فیلتر کالمن توسعه یافته^[۱۳]
اغلب کاربردهای موفق فیلتر کالمن در موقعیت هایی بوده است که دینامیک های غیر خطی وجود داشته اند. دو راه اصلی برای خطی سازی مسئله وجود دارد. یکی خطی سازی حول یک مسیر نامی در فضای حالت که به مقادیر اندازه گیری شده مربوط نباشد، با بهره گرفتن از این روش فیلتری بدست می آید که فیلتر کالمن خطی شده^[۱۴] نامیده می شود که در شکل۱۷ نمایش داده شده است. روش بعدی خطی سازی حول مسیری است که به طور مداوم با توجه به حالت های تخمین زده شده ، به هنگام می شود. فیلتر بدست آمده با بهره گرفتن از این روش خطی سازی، فیلتر کالمن توسعه یافته نامیده می شود که در شکل۱۸ نمایش داده شده است.
شکل۱۷-مسیر نامی ومسیر واقعی برای فیلتر کالمن خطی سازی شده[۶]
شکل۱۸-مسیر نامی ومسیر واقعی برای فیلتر کالمن توسعه یافته
فرض کنید فرایند تحت بررسی وخروجی های اندازه گیری شده به فرم زیر باشند: